GRAVITA' DI FANTASIA

 Eccoci di nuovo tornati ad uno di quei post totalmente inutili, in cui  ci si diverte con il computer, immaginandosi sistemi fisici inesistenti.

Parliamo di gravità. Lo sappiamo, una forza inversamente legata al quadrato della distanza tra due corpi. Se ad esempio consideriamo un sistema come quello terra-sole, in cui uno dei due corpi ha una massa enormemente superiore alla massa dell'altro, noi diciamo che "la terra gira intorno al sole". Più precisamente, secondo la prima legge di Keplero, la traiettoria dei pianeti è un'ellisse intorno al sole, ed il sole occupa uno dei due fuochi della suddetta ellisse.

Basta scrivere un piccolo programmino per verificare questa legge. Ad esempio, se consideriamo la Figura qui sotto, questa è ottenuta posizionando il sole sul punto rosso, dando un punto di partenza ed una velocità di partenza. Imponendo una legge del tipo F=-k / r^2 otteniamo automaticamente un'ellisse.

Esiste un valore limite della velocità, al di là del quale il sole non riesce a trattenere il pianeta all'interno del suo campo gravitazionale. In questo caso, il pianeta descriverebbe un'iperbole, come traiettoria.

Ma queste sono cose note dalla fisica.

Sappiamo che la terra ruota intorno al sole, che esiste un punto di massimo  avvicinamento della terra al sole, e si chiama perielio, ed un punto di massimo allontanamento dal sole, che si chiama afelio. Con periodicità di un anno, la terra arriva al perielio e, sempre con periodicità di un anno, la terra giunge all'afelio. Questi punti non cambiano nel tempo, sono sempre gli stessi rispetto al sole.
Altra cosa che sappiamo, essendo la gravità una forza centrale, essa conserva il momento angolare totale del sistema. Come conseguenza, il piano di rivoluzione terrestre CONTIENE IL SOLE.

Ora ci chiediamo (il perché ce lo chiediamo non lo saprete mai, me lo sono chiesto io, e siccome a scrivere sono io e non voi che leggete, impongo la prima persona plurale) che succederebbe se la terra fosse vincolata a muoversi su un piano distante dal sole di una quantità h, ma sempre soggetta alla forza di gravità.

Non si conserverebbe il momento angolare, ovviamente, perché non sarebbe costante il piano di rotazione, individuato dal raggio vettore terra-sole e dalla velocità della terra. Il momento angolare precederebbe, e così dovrebbe fare la traiettoria della terra. Cioè, se la terra, ad esempio, girasse in senso antiorario, per noi che guardiamo il sistema, perielio ed afelio girerebbero in senso orario, e questa precessione è tanto più veloce quanto più grande è la distanza del piano di rivoluzione dal sole..

Se h=0, abbiamo il caso reale del pianeta che ruota intorno al sole.

se diamo un valore h diverso da 0, abbastanza piccolo, notiamo che inizia la precessione della traiettoria, come vediamo dalla figura successiva. Il moto del pianeta è in senso antiorario, perielio ed afelio si muovono in senso orario.

Se aumentiamo h, aumenterà la velocità di precessione di perielio ed afelio, cioè l'angolo tra due "pseudo-ellissi" consecutive.

Chiaramente quest'angolo è GENERALMENTE NON COMMENSURABILE con il pi greco; conseguentemente, la traiettoria disegnata dal pianeta, in un tempo infinito, coprirà  una corona circolare avente raggio interno il perielio e raggio esterno l'afelio.

Ci saranno dei valori di h particolari, per cui gli angoli tra due pseudo-ellissi sono commensurabili con il pi greco. Per questi valori particolari di h, che creano una sorta di "stati di risonanza" del sistema, la traiettoria è periodica. Perieli ed afeli formano due poligoni regolari, e la traiettoria è una "stella" formata da archi di queste "pseudo-ellissi"

Quanti sono questi valori di risonanza? Ovviamente infiniti, quanti sono i numeri razionali.

E' evidente che all'aumentare di h, la forza di gravità del sole diminuisce. 

Allora, supponiamo come condizione iniziale al contorno la terra a sinistra del sole, il segmento terra-sole orizzontale e la velocità iniziale ortogonale al raggio vettore diretta verso il basso (rivoluzione in senso antiorario). 

In tale condizione, per simmetria, il punto di partenza è necessariamente un perielio, o un afelio. Per la velocità che ho dato, la posizione originale è un afelio. E rimarrà sempre un afelio o un perielio (sempre per ragioni di simmetria), qualunque sia h.

Ma la diminuzione della gravità, all'aumentare di h, ha come effetto quello di aumentare della distanza perielio-sole. in altre parole, la corona circolare di cui parlavamo sopra avrà come raggio esterno sempre il segmento terra-sole all'istante 0. Come raggio interno, un perielio che diventa via via sempre maggiore. Cioè, la corona circolare si assottiglia. 

Esisterà quindi una distanza h sole-piano di rivoluzione per cui  questa corona circolare diventa una circonferenza (perielio=afelio). Oltre questa lunghezza, la posizione iniziale, che non cambia mai, risulterà perielio, e l'afelio assumerà valori sempre più grandi, all'aumentare dell'h. La corona circolare tenderà ad allargarsi indefinitamente, fino a quando la gravità sarà talmente bassa che il pianeta raggiungerà, sempre con la stessa velocità e posizione a tempo zero, il valore di velocità di fuga dal campo gravitazionale solare. La traiettoria sarà in tal caso una "pseudo-iperbole". 

Condivido un video in cui alcuni esempi di traiettorie sono riportati, al crescere di h