Punti contagiosi su una linea

Come vi anticipavo nel post precedente, se un punto di contagio è confinato entro una parte di spazio limitatissima, la legge di contagio non è esponenziale. Scrivevo anche che condizione essenziale per cui l'andamento sia esponenziale, è che il punto di contagio si possa muovere liberamente all'interno dei confini della zona considerata.
Supponiamo quindi di avere una linea, ad esempio lunga due metri. Ed in questa linea si depositino 5000 animaletti piccolissimi. Supponiamo che uno di questi sia infetto, ed ancora una volta, supponiamo che la probabilità di infettare un altro animaletto sia legata inversamente, in qualche modo, alla distanza. Cioè, più si è vicini, più è alta la probabilità di contagio.
Differentemente dal post precedente (ma si può simulare anche come il post precedente) supponiamo che un animaletto malato lo sia per sempre.
Vediamo l'evoluzione.
La posizione degli animaletti, contagiati e no, è assolutamente casuale. Significa che in ogni istante, ciascuno degli animaletti si può trovare ovunque, all'interno della linea di 2 metri.
Ecco quello che succede. La riga di sopra è al tempo 0. Più si scende, più aumenta il tempo, e, ovviamente, il contagio. Ecco una rappresentazione grafica. All'inizio, solo uno è contagiato. Piano piano il contagio aumenta, questa volta veramente esponenzialmente, fino ad un certo punto in cui comincia la saturazione. Alla fine, tutti saranno contagiati.

 Ecco l'andamento dei contagiati, istante per istante.

Nel grafico di sopra, i contagiati per unità di tempo. Nel grafico di sotto, il numero di contagiati totali. Quando si parla di "Inflection point", è il punto del grafico in basso toccato dalla linea rossa. In quel punto, la curva dell'infezione cambia concavità. Dalla concavità verso l'alto, la concavità va verso il basso. Nel nostro grafico, circa a 90. Significa che da 0 a 90, il numero di contagiati per unità di tempo AUMENTA. Nel caso del COVID19 in Italia, se il numero di contagiati di oggi è superiore al numero di contagiati di ieri, significa che siamo ancora a sinistra della curva, tra 0 e 90. Come si vede dal grafico di sopra. Quando arriveremo al famoso "picco" (grafico di sopra), la curva totale comincerà a flettersi. Il numero dei casi registrati, grosso modo, sarà uguale alla metà dei casi che ancora ci dovremo aspettare. (Nel grafico non è esattamente la metà perché è una simulazione, con una certa variabilità. Non è un calcolo.)
Ancora oggi stiamo aspettando il picco.

Che succederebbe se i 5000 animaletti, con uno malato, invece di stare su  una linea di 2 metri, stessero su una linea di 1 metro?
Beh, la risposta è intuitiva. Il contagio è più probabile, e quindi tutti e 5000 gli animaletti verranno contagiati prima. Ed è quello che conferma la simulazione. Il picco viene anticipato, ed è molto più alto.
Ecco il grafico del contagio su una linea di 1000.

Come vedete è più rapido. Sotto il confronto 2000 contro 1000, che mostra come il picco venga anticipato.

 La seconda parte della curva, come dicevo, mostra la saturazione. Ma come facciamo a catalogare la prima parte come "esponenziale"?
Quando parliamo di "andamento lineare" intendiamo dire che, in un certo intervallo di tempo, è costante l'aumento dei casi. Oggi ci sono 5 casi, domani 5 casi, dopodomani 5 casi. Il grafico di sotto, in questo caso, sarebbe una linea retta. Oggi avremo 5 casi totali, domani 10, dopodomani 15. Tra un punto e l'altro è costante LA DIFFERENZA.
Si parla di andamento esponenziale quando tra un punto ed il successivo è costante IL RAPPORTO.
Se oggi ho un caso e domani due, dopodomani saranno 4, tra tre giorni 8, tra quattro giorni 16, e così via. Il rapporto tra due numeri consecutivi è costante (nell'esempio, 2).
Un modo per vedere se il grafico di sotto è esponenziale nella prima fase, è quello di usare sull'asse verticale una scala particolare, detta "logaritmica". Invece dei numeri 1000, 2000, 3000, ad ogni incremento dell'asse verticale corrisponde un fattore 10, quindi avremo 1, 10, 100, 1000. Per quanto abbiamo appena detto, in una scala logaritmica, se l'andamento è esponenziale, il grafico deve venire una linea retta, nella prima parte, prima della saturazione. Ed è quello che effettivamente otteniamo.

Ricordiamo che questo andamento è possibile solo perché gli animaletti infetti si possono muovere liberamente nella linea. Se fossero stati vincolati, come il caso dell'oscillatori esaminato nel post precedente, l'andamento sarebbe stato non esponenziale. Ecco lo stesso andamento mostrato ieri, in scala logaritmica, che fa vedere che il contagio degli oscillatori non è mai esponenziale. A causa del vincolo di posizione. Quindi, vincolo di posizione, non esponenziale. Senza vincolo di posizione, esponenziale.

Praticamente, il decreto del governo ha lo scopo di eliminare quell'andamento esponenziale in uno più "moderato". Più è moderato il trend, con più facilità potrà rispondere il nostro Servizio Sanitario. Continuiamo a stare fuori, liberi? Contribuiamo all'andamento esponenziale. Ce ne stiamo rigorosamente a casa? Contageremo, nel peggiore dei casi, solo chi ci sta accanto. L'andamento non sarà più esponenziale. Che è la cosa più importante, per cominciare a vedere la luce.