VOLUME DELL' IPERSFERA

Vorrei intrattenervi su un argomento di pubblica inutilità, ma divertente. Il volume dell'Ipersfera.

Prima di definire l'ipersfera, richiamiamo alcune nozioni "elementari" che tutti noi ricordiamo dalle scuole elementari e dalle scuole medie.

Supponiamo di avere una retta orientata, un punto O detto origine, ed un segmento di lunghezza unitaria. Fissate queste tre entità geometriche, esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali ed i punti sulla retta. Quindi, ad esempio, al numero 2.3 corrisponderà un punto (in figura, il punto A), al numero √2=1.414.... corrisponderà il punto B. Inoltre, a qualsiasi punto P della retta corrisponde uno ed un solo numero (in figura, il numero 5.5)

Stiamo lavorando ad una dimensione. La misura di qualsiasi segmento OO' è data dal rapporto tra la sua lunghezza e la lunghezza di riferimento. Chiamiamo questa misura "Volume ad una dimensione", oppure V1  . Ovviamente sappiamo che V1  è la lunghezza del segmento. Ora poniamoci la domanda: se r è un valore reale positivo, quanto misura il luogo dei punti la cui distanza dall'origine è minore o uguale ad r? Ovviamente questo luogo dei punti in UNA DIMENSIONE è il segmento che va dal punto R1 (-r) al punto R2 (r). Questo luogo dei punti misura quindi 2r. Il segmento R1R2 così definito è l'ipersfera nella dimensione 1. 

Quindi, l'ipersfera di raggio r ad una dimensione ha volume

                       V1 = 2r

Aggiungiamo una dimensione. Andiamo sul piano. Abbiamo studiato alla scuola media che, analogamente al caso ad una dimensione, se fissiamo una COPPIA di assi orientati ortogonali (chiamiamoli asse x1 ed asse x2) che si intersecano in un'origine O, e fissiamo un segmento che è un'unità di misura, allora esisterà una corrispondenza biunivoca tra COPPIE di numeri reali e punti sul piano. Questa coppia di numeri reali viene detta coppia di coordinate cartesiane. e si indica tra parentesi. Così, alla coppia (a1,a2) corrisponderà il punto A, e qualsiasi punto P avrà come corrispondenza la coppia (x1,x2).

In due dimensioni, la misura di qualsiasi figura nel piano è il rapporto tra la superficie della figura e la superficie unitaria, cioè il quadrato del segmento unitario.  Chiamiamo questa misura "Volume a due dimensioni", oppure V2  . Ovviamente sappiamo che V2  è una superficie.

Ora poniamoci la stessa domanda che ci siamo posti ad una dimensione: se r è un valore reale positivo, quanto misura il luogo dei punti del piano la cui distanza dall'origine è minore o uguale ad r? Questo luogo dei punti in DUE DIMENSIONI è ovviamente il cerchio con centro nell'origine O e raggio r. 

Il cerchio è quindi l'ipersfera in DUE DIMENSIONI. Tutti sappiamo che questa misura vale πr². Questa misura è il volume dell'ipersfera di raggio r (comunemente diremmo : l'area del cerchio di raggio r) e vale

V2 = πr²

Abbiamo fino ad ora trovato che ad una dimensione il volume dell'ipersfera è 2 volte il suo raggio, a due dimensioni è π volte il quadrato di raggio r.

Andiamo a tre dimensioni. Dalla retta siamo passati al piano. Ora dal piano passiamo allo spazio. Analogamente a quanto fatto nel piano, se fissiamo una TERNA di assi orientati ortogonali (chiamiamoli asse x1, asse x2 ed asse x3) ognuno agli altri due, che si intersecano in un'origine O e fissiamo l'unità di misura, allora esisterà una corrispondenza biunivoca tra TERNE ORDINATE di numeri reali e punti nello spazio. Questa terna di numeri reali viene detta terna di coordinate cartesiane. e si indica tra parentesi. Così, alla terna (a1,a2,a3) corrisponderà il punto A, e qualsiasi punto P avrà come corrispondenza la terna (x1,x2,x3). 

In tre dimensioni, la misura di qualsiasi figura nello spazio è il rapporto tra il volume della figura ed il volume di lato unitario, cioè il cubo del segmento unitario.  Chiamiamo questa misura "Volume a tre dimensioni", oppure V3 . In tre dimensioni, V3 è quello che anche classicamente chiamiamo "volume".

Stessa domanda:

se r è un valore reale positivo, quanto misura il luogo dei punti dello spazio la cui distanza dall'origine è minore o uguale ad r? Ovviamente questo luogo dei punti in TRE DIMENSIONI è la sfera con centro nell'origine O e raggio r. 

Tutti sappiamo che questa misura vale 4/3πr³. Questa misura è il volume dell'ipersfera di raggio r (comunemente diremmo : il volume della sfera di raggio r) e vale 4/3πr².

Riepilogando, per le dimensioni 1, 2, 3, abbiamo trovato i seguenti volumi di ipersfere:

V1 = 2 r

V2 = π r²

V3 = 4/3π r³ 

Quanto scritto fino ad ora è roba nota più o meno a tutti.

Ma adesso la domanda che ci poniamo è: come continua la serie di numeri 2, π, 4/3π ...?

Ha senso continuare a più dimensioni?

I matematici dicono che ha senso. E allora proviamoci. Abbiamo visto che l'ipersfera ad una dimensione è un segmento, l'ipersfera a due dimensioni è un cerchio, l'ipersfera a tre dimensioni è la classica sfera. Logicamente è possibile estendere il concetto alla quarta, alla quinta, all'm-esima dimensione, e definire in Rᵐ l'ipersfera di raggio r come il luogo geometrico dei punti P(x1,x2,x3,...xm) tali che la distanza dall'origine O è minore di r.

Ma come si calcola la distanza di un punto P(x1,x2,x3,...xm) dall'origine ?

Per m=1 OP= |x1|, ma anche √x1²

Per m=2 OP= √(x1²+x2²), dal teorema di Pitagora.

Per m=3 OP= √(x1²+x2²+x3²).
Analogamente, per qualsiasi m, se P(x1,x2,x3,...xm), allora 
OP  = √(x1²+x2²+x3²+....+xm²)

Qual è quindi, nello spazio ad m dimensioni Rᵐ, il volume dell'ipersfera di raggio r?
E' chiaro che sarà una costante per rᵐ.
Abbiamo visto che per m=1 la costante è 2, per m=2 la costante è π, per m=3 la costante è 4/3π. Cerchiamo lo sviluppo della serie delle costanti, in funzione della dimensione.

Per far questo, occorre capire come si passa da una dimensione alla successiva.

Consideriamo come da m=1 si passa ad m=2.

L'area del cerchio si ottiene sommando i rettangolini di base B ed altezza H, come in figura.

Ovviamente, più piccoli sono i rettangoli considerati, cioè migliore è la "risoluzione" per approssimare il cerchio, più questa somma di aree di rettangoli si avvicinerà al'area del semicerchio. (vedi figura)

Al, limite, quando questi rettangolini diventano piccolissimi, la sommatoria converge verso un valore unico, chiamato INTEGRALE dell'area dei rettangoli, dove l'angolo va da 0 (rettangolo largo in basso) all'angolo retto (rettangolo piccolissimo in alto). La formula che scriverò ora non è intuitiva. E' importante tenere in mente un fatto. Dell'elemento infinitesimo, la BASE è legata al volume della dimensione precedente (V1=2r), l'altezza, CHE E' L'ELEMENTO CHE AGGIUNGE LA DIMENSIONE, E' SEMPRE R cos (theta) dtheta. Otteniamo quindi:

In altre parole, il valore di quest'integrale che è l'area dell'ipersfera per m=2, è legato al valore del volume dell'ipersfera per m=1. Il fattore di proporzionalità è questo numero

Questo numero è, per definizione, l'area nera della figura successiva.

Questo valore è calcolabile abbastanza semplicemente. Infatti risulta:

In definitiva:

che mostra il legame tra il volume dell'ipersfera con m=1 (lunghezza del segmento) ed il volume dell'ipersfera con m=2 (area del cerchio).

Vediamo come si passa da m=2 ad m=3

Il volume della sfera si ottiene sommando i cilindretti di base B ed altezza H, come in figura.

Analogamente al caso bidimensionale, più i cilindretti sono sottili, più ci avviciniamo al volune reale della sfera.

Ovviamente, mentre nel caso del cerchio (V2) la base è il segmento (V1), nel caso della sfera (V3), la base è il cerchio (V2).
Abbiamo già capito che questo passaggio al limite si chiama integrale della funzione base per altezza infinitesima. Abbiamo quindi che:

dove

quindi:

Osserviamo che abbiamo trovato la regola che lega il volume dell'ipersfera nella dimensione m a quello dell'ipersfera nella dimensione ad m-1. Infatti, abbiamo visto che

Non è difficile intuire che, in generale:

Infatti, il volume dell'ipersfera Vm è ottenuto, per come abbiamo visto, dalla somma (o integrale) di basi per altezze, dove la base è:

e l'altezza aggiunge un R cos (theta) dtheta. Di conseguenza, nell'integrale, abbiamo le costanti Vm-1(R) ed R, e le parti variabili che sono l'm-esima potenza di cos (theta) e dtheta.
Per completare il calcolo, occorre quindi determinare il valore dell'integrale:

Integrando per parti otteniamo:

ma essendo

otteniamo

e quindi:

A questo punto "siamo in porto".
Possiamo infatti calcolare il volume dell'ipersfera nello spazio Rm. In questo caso, ci limitiamo alle prime 5 dimensioni, ma la continuazione è immediata:

E' interessante notare come ogni due dimensioni viene inserito un fattore Pi greco. Questo è dovuto al fatto che l'integrale del coseno, quando la dimensione è pari, contiene il pi greco. Quando è dispari, è razionale.
Ecco una tabella riassuntiva del calcolo:

Vaccini. Popolo come i figli.

La diatriba sui vaccini in Italia mi ricorda per molti aspetti il rapporto con mio figlio. Io sarei padre, dovrei dare delle direttive, eppure mio figlio mi contesta su ogni cosa. "Perché dovrei fare così? Tu cosa ne sai più di me?"
Un tempo i figli non si permettevano neanche di discutere le "direttive" dei genitori. Poi è arrivato il 68, il fantastico meraviglioso 68 in cui le manifestazioni studentesche hanno chiesto la "liberazione" dalla tirannia dei baroni e dei professoroni con gli occhiali, a fronte di un maggior "dialogo". Ecco, "il dialogo". La psicologia moderna afferma con forza che per educare bene occorre dialogare. Ma il dialogo, come punto di partenza, deve avere un concetto ben chiaro. C'è chi spiega, e chi ascolta, ed al limite chiede se non è convinto.
Oggi il "dialogo" a scopi educativi si è trasformato in quella che gli Anglo-Sassoni chiamano un "free-forum" in cui ognuno dice ciò che pensa e rivendica pari dignità (e fin qui, al limite) ed autorevolezza nell'esprimere le proprie opinioni.
Quello che dico, lo si può vedere palesemente su internet, ma è vita di tutti i giorni con mio figlio. "Clash Royale non più di 20 minuti al giorno." "Uffa, papà, ma perché? I miei compagnetti non hanno limite all'uso di clash royale". "Perché i videogiochi sono come delle droghe. Sai cosa sono le droghe?" "No." "Siediti e ti spiego". Al termine di tutti i pippotti su dipendenza mentale patologica che può scaturire in episodi di violenza da astinenza, l'erede si mostra razionalmente convinto. Dopodiché quando gli tolgo di forza il telefono, inizia a sbraitare sul "padre padrone" "Agli ordini, signor Capitano" ed atti di ribellione del genere. Il punto è che non riconosce la figura del padre come "persona informata dei fatti". Colpa anche mia, sarà pure, ma in parte è colpa dell'ambiente generale in cui la contestazione "a priori" ed il riconoscere i propri ruoli divendenta sempre più difficile.
Di fronte a questo caos gerarchico, in cui i figli si mettono alla pari con i genitori nelle disquisizioni, quando non sanno minimamente ciò di cui parlano, i genitori si sostituiscono agli insegnanti attuando un vero e proprio mobbing scolastico "facciamo così, organizziamo questo, l'attività va svolta così", i cittadini che non capiscono una beneamata mazza di politica e si candidano a governare città grandi o anche il Paese intero, prendendo pure un mare di consensi, in tutto questo caos, internet è la benzina sul fuoco.

Ora, da padre io mi devo chiedere, e lo faccio giorno per giorno, istante per istante, se devo dare "carta bianca" agli istinti di mio figlio, o continuare a tirare le redini. Ovviamente, carta bianca non se ne parla minimamente, quindi le "istanze di libertà" rivendicate da mio figlio possono andare a farsi benedire, fino a quando non dimostra di avere la responsabilità per gestire le proprie situazioni con razionalità e non con il "lasciami in pace". Perché io so benissimo che se lo "lasciassi in pace", lui giocherebbe 20, 30 minuti, un'ora, due ore, cinque ore col telefonino, inebetendosi totalmente. Questa cosa non è un mio sospetto. E' una mia certezza, che nasce dal ricordo di quello che ero io, bambino, più tutta una serie di letture sulla dipendenza, più le notizie di ragazzi MORTI DI OVERDOSE DA GIOCO. 17 ore consecutive a giocare, ed il sistema nervoso è andato in tilt. Ora, di tutto questo, mio figlio non capisce nulla, anche se gliene ho parlato in coscienza. Ma se dimostra di fregarsene, io devo dare la stretta.

Andiamo adesso ai vaccini. Il problema che si pongono i governanti è lo stesso dei genitori. Hanno delle informazioni ufficiali, che derivano dalla scienza medica, sanno benissimo cosa succederebbe se nessuno si vaccinasse (leggi pandemie), vedono che il trend della popolazione è quello di evitare i vaccini, e devono porsi gli stessi problemi che mi pongo io con mio figlio. Fosse giudizioso, ascoltasse i genitori, avrei bisogno di togliergli il telefonino? No. Saprei che giocherebbe 20 minuti al giorno, poi farebbe regolarmente i compiti, il pianoforte ed i suoi giochi non ebetizzanti. Ma mio figlio riceve input esterni in cui i compagnetti giocano molto di più, ed ovviamente se la prende col padre cattivo. Non è che pensa che siano i compagnetti a sbagliare, col telefonino sempre in mano. No. E' il papà cattivo. Sono i governanti cattivi che impongono i vaccini. Non è che è la popolazione cogliona che sta tendendo pericolosissimamente a non vaccinarsi. No. Sono i governanti cattivi e collusi con le case farmaceutiche.
Di fronte a questa isteria collettiva e delirio di onniscienza, si può reagire in due modi. Il primo, rendendo i vaccini obbligatori (cioè non far giocare a Clash Royale più di 20 minuti al giorno). Ovviamente la reazione della popolazione è "ma è necessaria una cosa del genere? non è una coercizione insensata?". Probabilmente lo è. Probabilmente mio figlio potrebbe anche giocare 25, 30 minuti, un'ora al giorno a clash royale. Ma poi c'è un feedback a tutto ciò. Ed il feedback chiaro è che lasciar fare agli Italiani webeti significherebbe una devaccinazione totale, così i nostri figli avranno solo metalli leggeri, e saranno soggetti a tutte le malattie del mondo. LA SCIENZA SA BENISSIMO, E LO HA DETTO IN TUTTI I MODI, ED E' ROBA DA MEDIOEVO SOLO IL PARLARNE, che la conseguenza sarebbe un aumento esponenziale delle malattie esantematiche, di tutte le malattie virali di questo mondo. I casi aumenterebbero, ed a quel punto i genitori dovrebbero PAGARE DI TASCA PROPRIA LE CURE, perchè il Servizio Sanitario Nazionale farebbe esplodere i costi. A quel punto, l'unica soluzione, a quel punto non discutibile neanche dai più talebani, sarebbe una sola: il vaccino obbligatorio.

E' solo questione di tempi vs intelligenza media della popolazione. Se la popolazione è più testarda, ci saranno "effetti Fedeli" (la multa invece dell'impedire l'accesso, idiozia), al limite si potrà vincere la battaglia e impedire al padre (il governo) di adottare il provvedimento più drastico. A quel punto il figlio giocherebbe a clash royale 5 ore al giorno, cioè ci sarebbero decine di migliaia, centinaia di migliaia di malattie infettive da mancanza di vaccino, ed il papà cosa dovrà fare? Non 20 minuti al giorno, ma telefono tolto e senza discussione.

Cioè, vaccini obbligatori senza minchiate alla Fedeli.

E' logico. Non si scappa.

P.S. Al momento, mio figlio non può toccare il telefono per fare videogiochi.

"Why should I?" // PARTE I

Non esito a definire la mia esperienza con Micron come la più traumatica, ma anche la più istruttiva della mia vita.
Come le migliori esperienze, quelle che fanno crescere di più, nasce da un contrasto. Tutto ciò che fa crescere, in fondo, nasce da un contrasto. Là dove c'è armonia totale, benessere, ricchezza, solidità, generalmente non si è portati a riflettere su ciò che ci circonda. La riflessione, la profonda riflessione, nasce quando si è catapultati in realtà assolutamente diverse da quelle che siamo abituati a fronteggiare nella vita di tutti i giorni.
Con Micron questa cosa è stata evidente. Una mentalità Italiana basata sulla ricerca della stabilità, sull'aspetto sociale, sul fatto che se qualcuno è in difficolta cerchiamo una soluzione per evitare che vi siano persone che vengano completamente tagliate fuori da una realtà lavorativa.
Diciamo una mentalità di fortissimo stampo socialista. Perché questa è la nostra storia, questo è l'humus culturale in cui cresciamo. In questo contesto nasce la forza del sindacato in Italia. Una forza che è arrivata spesso a dettare le leggi di riforma.
Dall'altra parte, persone che noi abbiamo definito dei tagliagole, ma che sono nate e cresciute in un ambiente del tutto diverso, in cui è essenziale CAVARSELA DA SOLI, sostentarsi senza l'aiuto di nessuno, e combattere per la sopravvivenza.
La mentalità americana, quella che io definisco "dell'America profonda" (l'ambiente che ho incontrato nelle coste era più aperto, leggermente diverso), è semplice: "sopravvivo se so fare, e sono in competizione con gli altri. Se non arrivo primo, perdo." Quindi, tutte le azioni attuate dagli Americani hanno un solo fine: soldi. Far soldi per sostenersi. E NON PERDERE SOLDI INUTILMENTE. Poi, altra legge del mercato fondamentale, è impossibile mantenersi rimanendo stabili. Occorre crescere. E crescere più del mercato. Pena la morte. Per "morte" non significa necessariamente la distruzione di tutto ciò che si fa. Semplicemente, se non ci si sostenta con la crescita continua oltre il mercato, si viene acquisiti. A quel punto, altri decideranno al posto di quelli che un tempo erano i capi. Questo è successo a noi Italiani, di Agrate, Napoli e Catania, e le conseguenze sono state sotto gli occhi di tutti. Altri, i nuovi padroni, quelli che hanno messo i soldi, hanno deciso cose che un tempo si decidevano ad Agrate. Tutte le decisioni di Agrate (alcune discutibili, altre giuste) avevano come faro illuminante ed indiscutibile una sola cosa: non far perdere posti di lavoro dove c'era sofferenza. Quindi, innanzitutto, in Italia. Essendo stati comprati dagli Americani, il paradigma è stato totalmente ribaltato. Non più la difesa del lavoro, ma il business sostenibile. Senza aiuti di Stato, senza alcun vincolo di mantenimento occupazionale. Solo gli interessi dell'azienda. Che non era più Italiana, ma Americana. Quindi, gli interessi non erano più quelli Italiani, ma quelli Americani di Boise (Idaho).

Ho avuto modo di conoscere e comprendere abbastanza bene il modo di ragionare del management di Micron. Differentemente da quanto potrebbe sembrare, anche ai più alti livelli, non si fanno integrali di volume o equazioni differenziali a più variabili per prendere le decisioni. Al massimo, le quattro operazioni. Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Basandosi su alcuni punti chiave:

1)"Is it consistent with my core-business?" (E' coerente con il centro dei miei affari?)
2)"Can I afford it? Can I risk it" (Me lo posso permettere? Posso rischiare?)
3)"Where is the convenience for us?" (In cosa è la convenienza per noi? Qual è il ritorno?)
4)"Do not spread sensitive information" (non diffondere informazioni riservate)


In questi quattro punti, è praticamente assente il lavoratore.

(...continua...)