Punti contagiosi su una linea

Come vi anticipavo nel post precedente, se un punto di contagio è confinato entro una parte di spazio limitatissima, la legge di contagio non è esponenziale. Scrivevo anche che condizione essenziale per cui l'andamento sia esponenziale, è che il punto di contagio si possa muovere liberamente all'interno dei confini della zona considerata.
Supponiamo quindi di avere una linea, ad esempio lunga due metri. Ed in questa linea si depositino 5000 animaletti piccolissimi. Supponiamo che uno di questi sia infetto, ed ancora una volta, supponiamo che la probabilità di infettare un altro animaletto sia legata inversamente, in qualche modo, alla distanza. Cioè, più si è vicini, più è alta la probabilità di contagio.
Differentemente dal post precedente (ma si può simulare anche come il post precedente) supponiamo che un animaletto malato lo sia per sempre.
Vediamo l'evoluzione.
La posizione degli animaletti, contagiati e no, è assolutamente casuale. Significa che in ogni istante, ciascuno degli animaletti si può trovare ovunque, all'interno della linea di 2 metri.
Ecco quello che succede. La riga di sopra è al tempo 0. Più si scende, più aumenta il tempo, e, ovviamente, il contagio. Ecco una rappresentazione grafica. All'inizio, solo uno è contagiato. Piano piano il contagio aumenta, questa volta veramente esponenzialmente, fino ad un certo punto in cui comincia la saturazione. Alla fine, tutti saranno contagiati.

 Ecco l'andamento dei contagiati, istante per istante.

Nel grafico di sopra, i contagiati per unità di tempo. Nel grafico di sotto, il numero di contagiati totali. Quando si parla di "Inflection point", è il punto del grafico in basso toccato dalla linea rossa. In quel punto, la curva dell'infezione cambia concavità. Dalla concavità verso l'alto, la concavità va verso il basso. Nel nostro grafico, circa a 90. Significa che da 0 a 90, il numero di contagiati per unità di tempo AUMENTA. Nel caso del COVID19 in Italia, se il numero di contagiati di oggi è superiore al numero di contagiati di ieri, significa che siamo ancora a sinistra della curva, tra 0 e 90. Come si vede dal grafico di sopra. Quando arriveremo al famoso "picco" (grafico di sopra), la curva totale comincerà a flettersi. Il numero dei casi registrati, grosso modo, sarà uguale alla metà dei casi che ancora ci dovremo aspettare. (Nel grafico non è esattamente la metà perché è una simulazione, con una certa variabilità. Non è un calcolo.)
Ancora oggi stiamo aspettando il picco.

Che succederebbe se i 5000 animaletti, con uno malato, invece di stare su  una linea di 2 metri, stessero su una linea di 1 metro?
Beh, la risposta è intuitiva. Il contagio è più probabile, e quindi tutti e 5000 gli animaletti verranno contagiati prima. Ed è quello che conferma la simulazione. Il picco viene anticipato, ed è molto più alto.
Ecco il grafico del contagio su una linea di 1000.

Come vedete è più rapido. Sotto il confronto 2000 contro 1000, che mostra come il picco venga anticipato.

 La seconda parte della curva, come dicevo, mostra la saturazione. Ma come facciamo a catalogare la prima parte come "esponenziale"?
Quando parliamo di "andamento lineare" intendiamo dire che, in un certo intervallo di tempo, è costante l'aumento dei casi. Oggi ci sono 5 casi, domani 5 casi, dopodomani 5 casi. Il grafico di sotto, in questo caso, sarebbe una linea retta. Oggi avremo 5 casi totali, domani 10, dopodomani 15. Tra un punto e l'altro è costante LA DIFFERENZA.
Si parla di andamento esponenziale quando tra un punto ed il successivo è costante IL RAPPORTO.
Se oggi ho un caso e domani due, dopodomani saranno 4, tra tre giorni 8, tra quattro giorni 16, e così via. Il rapporto tra due numeri consecutivi è costante (nell'esempio, 2).
Un modo per vedere se il grafico di sotto è esponenziale nella prima fase, è quello di usare sull'asse verticale una scala particolare, detta "logaritmica". Invece dei numeri 1000, 2000, 3000, ad ogni incremento dell'asse verticale corrisponde un fattore 10, quindi avremo 1, 10, 100, 1000. Per quanto abbiamo appena detto, in una scala logaritmica, se l'andamento è esponenziale, il grafico deve venire una linea retta, nella prima parte, prima della saturazione. Ed è quello che effettivamente otteniamo.

Ricordiamo che questo andamento è possibile solo perché gli animaletti infetti si possono muovere liberamente nella linea. Se fossero stati vincolati, come il caso dell'oscillatori esaminato nel post precedente, l'andamento sarebbe stato non esponenziale. Ecco lo stesso andamento mostrato ieri, in scala logaritmica, che fa vedere che il contagio degli oscillatori non è mai esponenziale. A causa del vincolo di posizione. Quindi, vincolo di posizione, non esponenziale. Senza vincolo di posizione, esponenziale.

Praticamente, il decreto del governo ha lo scopo di eliminare quell'andamento esponenziale in uno più "moderato". Più è moderato il trend, con più facilità potrà rispondere il nostro Servizio Sanitario. Continuiamo a stare fuori, liberi? Contribuiamo all'andamento esponenziale. Ce ne stiamo rigorosamente a casa? Contageremo, nel peggiore dei casi, solo chi ci sta accanto. L'andamento non sarà più esponenziale. Che è la cosa più importante, per cominciare a vedere la luce.

OSCILLATORI ARMONICI CONTAGIOSI.

In questo periodo di coronavirus il weekend può essere anche passato come ho fatto io, creando una simulazione di contagio solo parzialmente veritiera (spiegherò perché). Ho immaginato di avere una matrice di oscillatori armonici. Per l'esattezza, 50 righe e 100 colonne. Equispaziati, sia in orizzontale, sia in verticale, in una struttura del genere:

Ognuno dei punti, come dicevo, rappresenta un oscillatore che vibra, per intenderci, come una molla. Chiamiamo A l'ampiezza dell'oscillazione attorno al punto centrale.

L'angolazione dell'oscillazione e la frequenza di oscillazione sono casuali. E' costante l'ampiezza dell'oscillazione. In un certo istante di tempo t ogni puntino rosso i sarà distante dai suoi punti adiacenti j di una certa distanza dij. Supponiamo che alcuni di questi oscillatori siano "malati". Supponiamo che esista una certa probabilità che l'oscillatore malato contagi gli oscillatori a lui vicini. Assumiamo che questa probabilità sia legata in qualche modo "inverso" alla distanza dij. Per "legata in modo inverso" intendiamo ciò che è intuitivo: minore è la distanza, maggiore è la probabilità del contagio.
Assumiamo anche un'altra cosa. Che la malattia non sia eterna, ma che dopo un certo periodo di malattia l'oscillatore "guarisca", e cioè non contagi più e non possa più essere contagiato.

Supponiamo che un oscillatore su cento sia malato, posizionato in maniera casuale nella matrice di oscillatori.
La domanda è la seguente: che succede a tutto il sistema di oscillatori, dopo un certo periodo, relativamente "lungo" rispetto alla durata della malattia?

Com'è intuitivo, la risposta dipende principalmente da un solo parametro, essendo gli altri (direzione e frequenza) scelti in modo casuale: l'ampiezza A.
Quello che non è intuitivo, è che è alla base del pressante messaggio "STATE A CASA VOSTRA", è COME il numero dei contagiati finali dipende da QUANTO SI MUOVONO QUESTI OSCILLATORI.
Ho fatto una piccola simulazioncina in VB Excel, per capirlo. Ed ecco il risultato. Posto che gli oscillatori stanno ad una distanza di 20 (Unità arbitrarie) tra di loro. A varia da 0 a 30. Dopo un periodo t di 1000 (anche qui, unità arbitrarie, per dire "periodo grande abbastanza per capire") il risultato è riepilogato in queste figure. Dopo che vi saranno chiare le tre figure, potrete scorrere rapidamente. Vi renderete conto VISIVAMENTE che ad un certo punto le cose cambiano molto.

A=0
Mappa dei contagiati

A=0 Statistiche. A sinistra contagiati per unità di tempo, a destra percentuale di contagiati sul totale, sempre rispetto al tempo.

 

Come vediamo, su circa 50 infetti (un centesimo di un sistema di 100 x 50 oscillatori) UNO solo, dopo circa 30 secondi, è riuscito ad infettare un oscillatore, poi nessun altro oscillatore. E possiamo dire con certezza che solo questo oscillatore è stato infettato, perché dopo un certo periodo (in questo caso, 200) gli altri oscillatori malati guariscono, e dopo 230 secondi anche l'oscillatore infettato guarisce.

Andiamo avanti, A=3
Mappa dei contagiati

A=3 Statistiche. A sinistra contagiati per unità di tempo, a destra percentuale di contagiati sul totale, sempre rispetto al tempo.

 4 contagiati.

A=6
Mappa dei contagiati

 A=6 Statistiche. A sinistra contagiati per unità di tempo, a destra percentuale di contagiati sul totale, sempre rispetto al tempo.

 

A=9
Mappa dei contagiati

A=9 Statistiche. A sinistra contagiati per unità di tempo, a destra percentuale di contagiati sul totale, sempre rispetto al tempo.

A=12
Mappa dei contagiati

 A=12 Statistiche. A sinistra contagiati per unità di tempo, a destra percentuale di contagiati sul totale, sempre rispetto al tempo.

A=15
Mappa dei contagiati

 A=15 Statistiche. A sinistra contagiati per unità di tempo, a destra percentuale di contagiati sul totale, sempre rispetto al tempo.

A=18
Mappa dei contagiati

 A=18 Statistiche. A sinistra contagiati per unità di tempo, a destra percentuale di contagiati sul totale, sempre rispetto al tempo.

A=21
Mappa dei contagiati

 A=21 Statistiche. A sinistra contagiati per unità di tempo, a destra percentuale di contagiati sul totale, sempre rispetto al tempo.

A=24
Mappa dei contagiati

 A=24 Statistiche. A sinistra contagiati per unità di tempo, a destra percentuale di contagiati sul totale, sempre rispetto al tempo.

A=27
Mappa dei contagiati

A=27 Statistiche. A sinistra contagiati per unità di tempo, a destra percentuale di contagiati sul totale, sempre rispetto al tempo.

A=30
Mappa dei contagiati

A=30 Statistiche. A sinistra contagiati per unità di tempo, a destra percentuale di contagiati sul totale, sempre rispetto al tempo.

Per A=30 ho fatto una simulazione più lunga fino a 2000, per completare l'effetto di saturazione. Fino a nessun contagiato. Ecco l'ovvio risultato, che porta quel 92% al 95% circa. Non cambia la sostanza.

Rimane "fortunato" circa il 5% di oscillatori, mai infettati. Arrivati alla saturazione, la gran parte della popolazione infettante guarisce, e quei pochi fortunati "se la scampano".

Due considerazioni.

La prima. Come dicevo, anche ad una veloce carrellata sui risultati si vede un'enorme differenza tra A=18 ed A=21. Ad A=21 il contagio, letteralmente, esplode.

Ovviamente 18 e 21 sono due numeri indicativi, dipende dalla legge di proporzionalità inversa per il contagio, dal tempo di permanenza della malattia... ma il concetto non cambia. Al di là di un certo valore, il contagio esplode.

La seconda, qui non si vede quel famoso "andamento esponenziale" di cui tanto si parla. E' più un andamento parabolico, con saturazione. Il motivo è presto detto. L'andamento esponenziale con successiva saturazione di cui parlano gli esperti si applica nel caso in cui gli "untori" circolino liberamente dappertutto. Qui, gli "untori" sono sempre confinati, e quindi  possono contagiare limitatamente gli oscillatori contigui. Il che, volendo, è più lo stato in cui siamo noi ora. Confinati a casa. Ma se ci muovessimo troppo, potremmo con il nostro comportamento passare da quell'A18 all'A21. Col disastro. Non esponenziale, ma sempre disastro, parabolico.

Quanto è lo spazio che possiamo usare, senza fare danni?

Come ho detto, dipende moltissimo dai parametri usati. Nel dubbio, mettiamo quell'A=0, cioè STIAMO A CASA.