Anche questo è un post disarticolato che si propone come scopo quello di far vedere la bellezza dei numeri.
Quando compii 25 anni, mia madre si pose il problema di prepararmi le candele con le cifre 2 e 5. Ma non ci fu bisogno, perché tre giorni prima mio padre fece 52 anni. Toh, guarda che coincidenza. E questo diede il "la" a tutta una serie di problemi di carattere matematico, che si rivelarono molto divertenti.
Ovviamente, le prime domande che ti vengono in mente sono:
1) Perché è successo?
2) Succede una volta sola nella vita?
3) Succede con tutti i genitori figli?
Analizziamo la prima domanda.
Perché è successo?
La condizione che stiamo cercando è che una persona compie un certo numero XY di anni, mentre un'altra abbia un numero YX di anni.
Come abbiamo imparato alla prima elementare, il numero XY si scompone in "X decine ed Y unità",
Ad esempio, il numero 56 è "5 decine e 6 unità". Tradotto in formule,
XY=10*X+Y
Analogamente, YX=10*Y+X
Supponiamo che l'età del padre sia YX, cioè che sia Y>X. Osserviamo che la differenza di età tra padre e figlio è
(YX-XY)=(10*Y+X)-(10*X+Y)=9*(Y-X)
Nel caso mio e di mio padre, 52-25=27=9*(5-2)
Quindi, la condizione per cui si verifichi l'inversione delle candeline, tra genitore e figlio, è che LA DIFFERENZA DI ETA' SIA UN MULTIPLO DI 9.
Notiamo che la differenza di età è data da 9 moltiplicato per la differenza delle cifre. Di conseguenza, se entrambe le cifre aumentano di 1, o diminuiscono di 1, la differenza di età rimane invariata.
Nel caso mio, se io avevo 25 anni e mio padre 52, le cifre coinvolte sono 5 e 2. Quindi la stessa cosa succede se le cifre coinvolte sono 3 e 6, 4 r 7, 5 e 8, 1 e 4, 0 e 3.
Se XY e YX sono età che realizzano l'inversione delle cifre, anche (X+1)(Y+1) e (Y+1)(X+1) avranno la stessa differenza. Infatti
[10*(Y+1)-(X+1)]-[10*(X+1)+(Y+1)]=10Y+10+X+1-10X-10-Y-1=9*(Y-X)
Quindi, SE l'evento si verifica, ALLORA non è unico, ma si ripete con una periodicità di 11 anni (una decina ed una unità in più o in meno). Nel mio caso, quando avevo 03 anni mio padre ne aveva 30, quando ne avevo 14 mio padre ne aveva 41, a 25 lui ne aveva 52, a 36 lui 63, a 47 lui 74, speriamo che quando ne avrò 58 lui ne avrà 85, e quando ne avrò 69 lui ne avrà 96.
Con mia madre la differenza di età è 25 anni. L'evento di inversione delle cifre NON si verificherà mai, in base alla regola appena espressa. 25 non è multiplo di 9. Ma mi dispiaceva non dare questa soddisfazione a mia madre. Davvero non è possibile una cosa del genere? Perché questa cosa accade con mio padre e non con mia madre? Cosa ha, di particolare, la cifra 9 per poter dare questa "soddisfazione" di inversione?
Beh, se rivediamo il calcolo fatto, partiamo dal presupposto che i numeri si scompongono, come facevamo alle elementari in "decine" ed "unità". Ma perché si scompongono in "decine" ed "unità"? Ma è ovvio, perché il nostro sistema di numerazione è decimale, cioè a dieci cifre. Quindi, nel contare, quando raggiungiamo il numero 9, sappiamo che il successivo riparte da 0, ed aggiunge una cifra a sinistra, e facciamo 10 (dieci, una decina zero unità). Arrivati a 99, se aggiungiamo un numero, si torna a 0 con le unità, zero con le decine e si aggiunge una cifra al centinaio, ottenendo 100 (cento, nel sistema decimale, un centinaio, zero decine, zero unità). Il ruolo della cifra 9 è fondamentale, perché è UN NUMERO IN MENO rispetto al numero delle cifre del sistema numerico in considerazione. Nel caso nostro, il sistema decimale. Facendo quindi la differenza YX-XY, otteniamo 10*Y-X-10*X-Y=9*Y-9*X. Questo perchè il numero YX NEL SISTEMA DECIMALE si scompone in "decine" ed "unità".
25 non è multiplo di 9, ma è multiplo di 5. Se il 5 avesse lo stesso ruolo del 9, cioè se CAMBIASSIMO IL SISTEMA DI NUMERAZIONE, anche mia mamma potrebbe avere la soddisfazione di invertire l'età con me. Ed in quale sistema di numerazione il 5 ha lo stesso ruolo che ha il 9 nel sistema decimale? E' il sistema a 6 cifre, sistema "senario". Dato un sistema senario, un numero XY si scompone, analogamente al tradizionale sistema decimale, in "X SESTINE ed Y UNITA'".
A questo punto, la differenza tra due numeri YX-XY (con Y>X) diventa:
YX-XY=6*Y+X-6*X-Y=5*(Y-X)
Quando io sono nato, io avevo 0 anni, mia mamma 25 anni. 25 anni, nel sistema senario, sono 4 sestine ed una unità, cioè 41. Quando avevo 05 anni (uguale sia nel sistema senario che decimale), mia mamma aveva 30 anni (nel sistema decimale). Ma 30, nel sistema senario, è 5 sestine e 0 unità, cioè 50. Cioè, ai miei 5 anni, la rappresentazione delle età nel sistema senario era 05 per me e 50 per mia mamma. Aggiungendo 7 unità (cioè una sestina ed una unità) mia mamma arriva in terza cifra (il 37 in decimale è 101 in senario).
