In questo post vorrei farvi partecipi di un piccolo, ma divertente, problema di geometria. Il mio desiderio è che seguissero il discorso, che è lungo, ma semplice, soprattutto tutti coloro che di se stessi affermano: "la matematica e la geometria non le ho mai capite". E' un modo per far vedere, se ci riesco, ovviamente, la bellezza della geometria e della matematica.
Ecco il problema.
Abbiamo un triangolo qualsiasi. ABC.
Dividiamo ogni lato del triangolo in tre parti uguali, ottenendo i punti D, E, F, G, H, I. Uniamo ognuno dei vertici con i due punti intermedi del lato opposto.
Le sei linee così tracciate delimitano un esagono JKLMNO.
Il problema consiste nel dimostrare che
l'area di questo esagono è, qualunque sia la forma del triangolo,
un decimo dell'area del triangolo ABC.
Per dimostrare la tesi, occorre fare alcune premesse.
Prima di tutto, consideriamo sempre il nostro triangolo. Dividiamo due lati AB ed AC in parti ugualmente proporzionali, come in figura.
Otteniamo quindi due punti U, T (come Udine-Torino). Per costruzione, Il rapporto tra la lunghezza del segmento AT e la lunghezza del segmento TC è uguale al rapporto tra la lunghezza del segmento AU e la lunghezza del segmento UB. Questa affermazione si può riassumere scrivendo la proporzione:
AT:TC=AU:UB
Ma quando su due rette trasversali (retta AB e retta AC) si staccano due coppie di segmenti proporzionali, allora siamo nelle condizioni del
teorema di Talete, per cui il segmento UT è parallelo al segmento BC. Di conseguenza possiamo affermare che il triangolo VBC è simile (cioè ha la stessa forma) al triangolo VUT. Questo significa che, se tiriamo le mediane dal vertice V, VQ e VQ' necessariamente fanno parte della stessa retta. Ma essendo Q' anche mediana del triangolo AUT, ed essendo AUT simile ad ABC, allora significa che la mediana AQ e la mediana AQ' fanno parte della stessa retta, che è anche la retta VQ. Tutto questo ragionamento per dimostrare che, se dividiamo due lati di un triangolo in due coppie di segmenti proporzionali tra loro (AT:TC=AU:UB), i segmenti BT ed UC si intersecano in un punto V che FA PARTE DELLA MEDIANA AQ del triangolo ABC.
Quest'ultima conclusione è fondamentale per proseguire nella dimostrazione del teorema principale. Infatti, se tracciamo le tre mediane del triangolo ABC, come in figura,
per quanto abbiamo appena visto, le mediane passano per i vertici dell'esagono centrale, e lo dividono in sei triangoli. JSK, KSL, LSM, MSN, NSO, OSJ. Quindi, se riusciamo a dimostrare che, ad esempio, il triangolo SMN ha l'area pari ad 1/10 dell'area del triangolo CSQ, abbiamo dimostrato il nostro teorema, (perché la dimostrazione prescinde da forma e dimensioni delle figure coinvolte). Allo stesso modo, infatti, il triangolo NSO sarà 1/10 del triangolo CSR, e così via. Quindi la somma delle aree dei sei triangoli interni sarà uguale alla somma delle aree dei triangoli esterni. Ma la somma delle aree dei triangoli esterni è proprio l'area del triangolo ABC, e la somma delle aree dei triangoli interni è l'area dell'esagono JKLMNO.
Consideriamo il triangolo CSQ. Esso è equivalente (cioè, ha la stessa area) al triangolo BSQ. La dimostrazione è banale. Per costruzione, BQ=QC costituiscono le basi dei due triangoli, e l'altezza
SS' in comune. Quindi le due aree (base x altezza)/2 sono uguali.
Quanto valgono queste aree?
Per calcolarlo, occorre un'altra premessa. Consideriamo sempre la figura seguente:
Ricordiamo che l'abbiamo ottenuta dividendo i segmenti AB ed AC in parti proporzionali tra loro:
AT:TC=AU:UB
Ricordiamo la proprietà del comporre delle proporzioni:
(AT+TC):TC=(AU+UB):UB
e cioè
AC:TC=AB:UB
Definiamo x il rapporto (TC:AC), o (UB;AB). La domanda che ci poniamo è la seguente: avendo già dimostrato che il punto V giace nella mediana AQ, QUANTO VALE IL RAPPORTO (VQ:AQ)? Cioè, se x=TC:AC, quanto vale, in funzione di x, il rapporto VQ:AQ?
Chiamiamo y questo rapporto y=VQ/AQ.
Osserviamo che AQ'+Q'V+VQ=AQ. Dividendo ambo i membri di quest'uguaglianza per AQ, abbiamo
AQ'/AQ+Q'V/AQ+VQ/AQ=1
Il primo termine della somma a sinistra , AQ'/AQ, per il teorema di Talete, è uguale ad AT/AC, e cioè:
AQ'/AQ=(1-x)
Il terzo termine, per definizione, è proprio y.
Per quanto riguarda il secondo termine, Q'V/AQ, osserviamo che Q'V/QV=UT/BC=AT/TC=(1-x)/x
Ma QV=AQ*y quindi Q'V=y*AQ*(1-x)/x. In definitiva Q'V/AV=y*(1-x)/x.
Tornando all'uguaglianza di partenza
AQ'/AQ+Q'V/AQ+VQ/AQ=1
abbiamo quindi che
(1-x)+y*(1-x)/x+y=1 Da qui, con semplici passaggi, otteniamo che
y=x/(2-x)
Questo è un risultato fondamentale per la nostra dimostrazione finale. Infatti, osserviamo che il VQ/AQ=y è anche il rapporto tra le due altezze VV' ed AA', rispettivamente dei triangoli ABC e VBC. Come si evince dalla figura sotto.
Di conseguenza, il triangolo VBC ha un'area pari proprio all'area di ABC per y.
A_VBC=y*A_ABC
Quindi, tornando alla figura precedente:
possiamo dire che, per quanto abbiamo detto fino ad ora, l'area del triangolo BSC è y*A_ABC. In questo caso y si ottiene sostituendo ad x il valore 1/2, perchè S è l'intersezione delle mediane, quindi CR=1/2 * AC.
Se x=1/2, allora y=(1/2)/(2-1/2)=1/3
Quindi, l'area del triangolo SBC è 1/3 dell'area del triangolo ABC. Quindi, l'area dei due triangoli SBQ ed SQC è 1/6 dell'area del triangolo ABC. Analogamente, le aree dei triangoli SCR, SRA, SAP, SPB sono tutte 1/6 dell'area del triangolo ABC. Se quindi probiamo che l'area del triangolo SMN è 1/60 dell'area del triangolo ABC, abbiamo provato il teorema, perché le aree dei 6 triangoli che compongono l'esagono sono tutte uguali.
Ricordiamo la relazione fondamentale
y=x/(2-x)
e consideriamo i due triangoli SQC ed SMW nella figura sotto.
Questi triangoli sono simili, perché hanno gli angoli tra loro congruenti. Quindi i loro lati saranno rispettivamente proporzionali, e, detto k=SM/SQ il fattore di proporzionalità tra i lati, il rapporto tra le aree dei triangoli SMW ed SQC sarà proporzionale al quadrato di k.
Quanto vale k?
k=SM/SQ.
SM=SQ-MQ
Ma SQ, lo abbiamo visto, è pari ad AQ/3, mentre MQ=AQ*y, dove y=x/(2-x) dove stavolta x=1/3 (CH/AC).
MQ quindi è AQ/5.
Quindi SM=AQ/3-AQ/5= 2/15 * AQ, k=SM/SQ=(2/15)/(1/3) cioè k=2/5
Di conseguenza, A_SMW=4/25*A_SQC
Osserviamo che il triangolo SMW è la somma di due triangoli SMN ed MNW, aventi la stessa altezza, che è MM'. Di conseguenza, la sua area è data dalla somma delle due aree, che a loro volta sono proporzionali ai segmenti SN ed NW.
In che rapporto stanno i segmenti SN ed NW?
Osserviamo che N è l'intersezione dei due segmenti AG e BH, che dividono, ancora una volta in modo proporzionale, i lati AC e BC, con il fattore x=2/3. Sostituendo nella formula
y=x/(2-x) otteniamo che y=(2/3)/(2-2/3)=2/3 / 4/3 = 1/2.
Quindi abbiamo che PN=1/2 PC. Di conseguenza, il segmento NN' è la metà del segmento PP' che è a sua volta la metà dell'altezza AA' del triangolo ABC. NN' è quindi 1/4 dell'altezza AA'
In definitiva, abbiamo stabilito che le tre quote di S, N ed M sono rispettivamente 1/3, 1/4 ed 1/5 dell'altezza AA' del triangolo ABC. Il rapporto
SN/NW=(1/3-1/4) / (1/4-1/5) = 20/12 = 5/3
Detta A_SMW l'area del triangolo SMW, 5 parti di quest'area sono occupati dal triangolo SMN, e tre parti dal triangolo MNW.
Quindi
A_SMN=5/8 A_SMW
Ma abbiamo visto che A_SMW=4/25 A_SQC, e quindi A_SMN=(5/8) * (4/25) A_SQC, cioè
A_SMN=1/10 A_SQC.
Per quanto detto sopra, tutti i 6 triangoli che compongono l'esagono sono equivalenti, e quindi anche l'area dell'esagono JKLMNO è 1/10 dell'area del triangolo ABC.
