Quindi, l'ipersfera di raggio r ad una dimensione ha volume
V1 = 2r
Aggiungiamo una dimensione. Andiamo sul piano. Abbiamo studiato alla scuola media che, analogamente al caso ad una dimensione, se fissiamo una COPPIA di assi orientati ortogonali (chiamiamoli asse x1 ed asse x2) che si intersecano in un'origine O, e fissiamo un segmento che è un'unità di misura, allora esisterà una corrispondenza biunivoca tra COPPIE di numeri reali e punti sul piano. Questa coppia di numeri reali viene detta coppia di coordinate cartesiane. e si indica tra parentesi. Così, alla coppia (a1,a2) corrisponderà il punto A, e qualsiasi punto P avrà come corrispondenza la coppia (x1,x2).
Il cerchio è quindi l'ipersfera in DUE DIMENSIONI. Tutti sappiamo che questa misura vale πr². Questa misura è il volume dell'ipersfera di raggio r (comunemente diremmo : l'area del cerchio di raggio r) e vale
V2 = πr²
Abbiamo fino ad ora trovato che ad una dimensione il volume dell'ipersfera è 2 volte il suo raggio, a due dimensioni è π volte il quadrato di raggio r.
Andiamo a tre dimensioni. Dalla retta siamo passati al piano. Ora dal piano passiamo allo spazio. Analogamente a quanto fatto nel piano, se fissiamo una TERNA di assi orientati ortogonali (chiamiamoli asse x1, asse x2 ed asse x3) ognuno agli altri due, che si intersecano in un'origine O e fissiamo l'unità di misura, allora esisterà una corrispondenza biunivoca tra TERNE ORDINATE di numeri reali e punti nello spazio. Questa terna di numeri reali viene detta terna di coordinate cartesiane. e si indica tra parentesi. Così, alla terna (a1,a2,a3) corrisponderà il punto A, e qualsiasi punto P avrà come corrispondenza la terna (x1,x2,x3).
In tre dimensioni, la misura di qualsiasi figura nello spazio è il rapporto tra il volume della figura ed il volume di lato unitario, cioè il cubo del segmento unitario. Chiamiamo questa misura "Volume a tre dimensioni", oppure V3 . In tre dimensioni, V3 è quello che anche classicamente chiamiamo "volume".
Tutti sappiamo che questa misura vale 4/3πr³. Questa misura è il volume dell'ipersfera di raggio r (comunemente diremmo : il volume della sfera di raggio r) e vale 4/3πr².
Riepilogando, per le dimensioni 1, 2, 3, abbiamo trovato i seguenti volumi di ipersfere:
Quanto scritto fino ad ora è roba nota più o meno a tutti.
I matematici dicono che ha senso. E allora proviamoci. Abbiamo visto che l'ipersfera ad una dimensione è un segmento, l'ipersfera a due dimensioni è un cerchio, l'ipersfera a tre dimensioni è la classica sfera. Logicamente è possibile estendere il concetto alla quarta, alla quinta, all'm-esima dimensione, e definire in Rᵐ l'ipersfera di raggio r come il luogo geometrico dei punti P(x1,x2,x3,...xm) tali che la distanza dall'origine O è minore di r.
Ma come si calcola la distanza di un punto P(x1,x2,x3,...xm) dall'origine ?
Analogamente, per qualsiasi m, se P(x1,x2,x3,...xm), allora
OP = √(x1²+x2²+x3²+....+xm²)
Qual è quindi, nello spazio ad m dimensioni Rᵐ, il volume dell'ipersfera di raggio r?
E' chiaro che sarà una costante per rᵐ.
Abbiamo visto che per m=1 la costante è 2, per m=2 la costante è π, per m=3 la costante è 4/3π. Cerchiamo lo sviluppo della serie delle costanti, in funzione della dimensione.
Per far questo, occorre capire come si passa da una dimensione alla successiva.
Consideriamo come da m=1 si passa ad m=2.
Il volume della sfera si ottiene sommando i cilindretti di base B ed altezza H, come in figura.
Analogamente al caso bidimensionale, più i cilindretti sono sottili, più ci avviciniamo al volune reale della sfera.
Ovviamente, mentre nel caso del cerchio (V2) la base è il segmento (V1), nel caso della sfera (V3), la base è il cerchio (V2).
Abbiamo già capito che questo passaggio al limite si chiama integrale della funzione base per altezza infinitesima. Abbiamo quindi che:
dove
quindi:
Osserviamo che abbiamo trovato la regola che lega il volume dell'ipersfera nella dimensione m a quello dell'ipersfera nella dimensione ad m-1. Infatti, abbiamo visto che
e l'altezza aggiunge un R cos (theta) dtheta. Di conseguenza, nell'integrale, abbiamo le costanti Vm-1(R) ed R, e le parti variabili che sono l'm-esima potenza di cos (theta) e dtheta.
Per completare il calcolo, occorre quindi determinare il valore dell'integrale:
Integrando per parti otteniamo:
e quindi:
A questo punto "siamo in porto".
Possiamo infatti calcolare il volume dell'ipersfera nello spazio Rm. In questo caso, ci limitiamo alle prime 5 dimensioni, ma la continuazione è immediata:
E' interessante notare come ogni due dimensioni viene inserito un fattore Pi greco. Questo è dovuto al fatto che l'integrale del coseno, quando la dimensione è pari, contiene il pi greco. Quando è dispari, è razionale.
Ecco una tabella riassuntiva del calcolo:







